Решается через сумму арифметической прогрессии.. +...+ - вместо точек другие логарифмы...

$log_{\sqrt{3}} x+log_{\sqrt[4] {3}} x+...+log_{\sqrt[16] {3}} x=36$
$log_{3^{\frac{1}{2}}} x+log_{3^{\frac{1}{4}}} x+...+log_{3^{\frac{1}{16}}} x=36$

используем свойство логарифма $log_{a^k} b^m=\frac{m}{k} log_a b$

$\frac{1}{\frac{1}{2}}log_3 x+\frac{1}{\frac{1}{4}}log_3 x+...+\frac{1}{\frac{1}{16}}log_3 x=36$
$2log_3 x+4log_3 x+....+16log_3 x=36$
$(2+4+...+16)log_3 x=36$

$a_1=2;a_2=4 a_n=16; d=a_2-a_1=4-2=2$
$a_n=a_1+(n-1)*d$
$n=\frac{a_n-a_1}{d}+1=\frac{16-2}{2}+1=8$
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n$
$S_8=\frac{2+16}{2}*8=72$
$72log_3 x=36$
$log_3 x=36:72$
$log_3 x=\frac{1}{2}$
$x=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

ответ: $\sqrt{3}$