Решить логарифмическое неравенство

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

решить логарифмическое неравенство
( Log(2-x) x+2 ) * ( Log(x+3) 3-x ) ≤ 0.
----
ОДЗ : { 2-x >0 ; 2- x ≠ 1 ; x+2 >0 ; x+3 >0 ;x+3 ≠ 0; 3-x >0⇔
x∈ (- 2 ; 1) U (1 ; 2) . * * * (- 2) ///////////////////////////(1) //////////////// (2) * * *
---
При x+2=1, т.е. при x = -1 имеет место равенство 0 = 0, в остальных случаях неравенство строгое: Log(2-x) x+2 ) * ( Log(x+3) 3-x ) < 0 . ---
a) Если - 2 < x < 1 ⇒ -1 < - x < 2 ⇒ 1 < 2 - x < 4 и 1 < x+3 < 4 ,
т.е. оба основания логарифмов больше единицы и ( Log(x+3) 3-x ) > 0
т.к. 2 < 3 - x < 5 .
0 < x+2 < 3 разбиваем на две части
a₁) 0 < x+2 < 1 || -2< x < -1 || ⇒ ( Log(2-x) x+2 ) < 0 ,следовательно :
( Log(2-x) x+2 )* ( Log(x+3) 3-x ) < 0 _выполняется неравенство. 
a₂) 1 ( Log(2-x) x+2 ) > 0 ,следовательно :
Log(2-x) x+2 )* ( Log(x+3) 3-x ) > 0 _не выполняется неравенство.
---
b) Если 1 < x < 2 ⇒ 0 < 2 - x < 1 ; 3 < x+2 < 4 ; 4 < x +3 < 5 ;1< 3 - x < 2. Log(2-x) x+2 ) < 0 ; Log(x+3) 3-x > 0 ,,следовательно :
( Log(2-x) x+2 )* ( Log(x+3) 3-x ) < 0 _выполняется неравенство. В итоге
(- 2) ///////////////// [-1]---------(1) //////////////// (2)

ответ: x∈ (- 2 ; -1] U (1 ; 2) .

oganesbagoyan_zn (181k баллов) 11 Май, 18

fadarm_zn · Answer 1 · 2018-05-11T10:28:38+0000

$\log_{2-x}(x+2)*\log_{x+3}(3-x) \leq 0$
ОДЗ:
2-x>0 ⇒ x<2 x+2>0 ⇒x>-2
x+3>0 ⇒ x>-3
3-x>0 ⇒ x<3 Объедение все условия в одно получим интервал x∈(-2;2)

$\log_{2-x}(x+2) \leq 0$ или $\log_{x+3}(3-x) \leq 0$

$\log_{2-x}(x+2) \leq \log_{2-x}1$

$\log_{j(x)}(f(x)) \leq \log_{j(x)}(g(x))$ ⇒ $(f(x)-g(x))*(j(x)-1) \leq 0$

(x+2-1)(2-x-1)≤0
(x+1)(1-x)=0
x1=-1;x2=1 (точки закрашенные)

$\log_{x+3}(3-x) \leq \log_{x+3}1$
(3-x-1)(x+3-1)≤0
(2-x)(x+2)=0
x3=2; x4=-2 (точки пустые)

Нанеся все точки на числовую прямую получим 5 промежутков.
Неравенство будет выполняться на промежутке x∈(-2;-1]∪[1;2)