Дан произвольный угол,внутри которого взята точка А(которая не лежит ** биссектрисе...

Question

Дан произвольный угол,внутри которого взята точка А(которая не лежит на биссектрисе данного угла).Постройте окружность вписанную в данный угол,проходящую на точке А.

Answer 1

Пусть мы имеем угол 2α с вершиной в начале координат и одним лучом по оси Ох. Точка А имеет координаты (х;у).
Неизвестны координаты (хо;уо) центра окружности, проходящей через точку А и касающейся сторон угла, находящегося на биссектрисе угла.

Радиус окружности и координата уо = хо*tg α.
Уравнение окружности примет вид: (х-хо)²+(у-уо)² = (хо*tg α)².
Раскроем скобки и заменим уо:
(х-хо)²+(у-хо*tg α)² = (хо*tg α)².
х²-2хо*х+хо²+у²-2у*tg α*xo+xo²*tg²α = xo²*tg²α.
После сокращение и приведения подобных получаем квадратное уравнение: хо²-(2y*tg α+2x)*xo+(x²+y²) = 0.

Подставив известные данные в полученное уравнение, определим координату центра окружности хо.
Восстановив перпендикуляр до пересечения с биссектрисой, находим центр окружности и строим её.

Comments

Т.е. вы хотите сказать,что с помощью циркуля и линейки центр окружности найти невозможно?но почему?разве на любой точке взятой внутри любого угла может проходить больше 1-ой окружности,при том ,чтобы окружность была вписана в угол?а вообще задачу на уроке предложил на уроке мой учитель по математике.

---

Центр окружности можно найти, если самому выбрать точку касания стороны угла. Из этой точки провести отрезок в точку А, провести серединный перпендикуляр к этому отрезку до пересечения с биссектрисой - это и есть центр окружности. Это основано на задаче №8 по принципу нахождения центра описанной окружности около треугольника. Вершины его - точка А, симметричная ей точка относительно биссектрисы и выбранная точка касания.

---

Я тут уже это делал, это вообще тривиальное построение. Надо построить ЛЮБУЮ окружность, касающуюся сторон угла c центром O1, провести луч из вершины угла через точку A до пересечения с этой окружностью в точке A1, и потом "сделать гомотетию" :) то есть провести AO II A1O1, точка O на биссектрисе.

---

Ну и понятно, что у задачи два решения (то есть можно построить две окружности), и оба решения таким способом получаются.

---

И уже так, не по делу :) Множество окружностей, касающихся сторон заданного угла, очень наглядно представляют саму идею гомотетии. Это множество переходит само в себя при любом таком преобразовании с центром в вершине угла (ну, с положительным коэффициентом, расширение с помощью вертикального угла снимает и это ограничение).

---

а можете,доказать правильность построения,а то я что-то не понимаю

---

что?!!!!

---

Мне точно пора прекращать тут что-то делать. Ну как можно что-то доказать после того, как все уже доказано? Я не знаю... Я попробую еще 1 раз повторить то, что уже сказал, но как бы с другого конца. Предположим, что есть две окружности, касающиеся сторон угла. И есть луч из вершины угла, пересекающий обе окружности (каждую в двух точках, я выбираю пару точек, которые "ближе" к вершине)

---

Тогда отношение расстояний от вершины до точек равно отношению расстояний до центров.

---

Конечно, это надо доказать, и это не совсем элементарно, но можно (и нужно). Если есть хоть какое-то знакомство с гомотетией, это само собой очевидно. Но и без гомотетии это легко показать, надо просто покопаться.