Найти значении параметра a , при котором сумма квадратов корней уравнения ...

Question

Найти значении параметра a

, при котором сумма квадратов корней уравнения

x^2−(a+1)x+a−1=0

является наименьшей.

Answer 1

Дискриминант D = (a + 1)^2 - 4(a - 1) = a^2 - 2a + 5 > 0 при любых a, значит, у уравнения 2 различных корня.

Сумма корней по теореме Виета x1 + x2 = -(-(a + 1)) = a + 1, произведение корней x1 x2 = a - 1.

x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1 x2 = (a + 1)^2 - 2(a - 1) = a^2 + 2a + 1 - 2a + 2 = a^2 + 3

a^2 + 3 >= 3, минимальное значение 3 достигается при a = 0.

Ответ. a = 0.