Обозначим точку касания на стороне LM буквой С, а отрезок КВ = х.
По свойству вписанной окружности:
KB = KA = x,
BM = CM = 5,
AL = CL = 10.
Отсюда имеем сторону LM = 15.
По теореме косинусов:
cos K = (x+10)²+(x+5)²-15²/(2*(x+10)(x+5) = 1/26 (по заданию).
После раскрытия скобок, приведения подобных и сокращения получаем квадратное уравнение: х²+15х-54 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=15^2-4*1*(-54)=225-4*(-54)=225-(-4*54)=225-(-216)=225+216=441;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√441-15)/(2*1)=(21-15)/2=6/2=3;x_2=(-√441-15)/(2*1)=(-21-15)/2=-36/2=-18. этот корень отбрасываем.
Теперь известны все стороны треугольника:
KL = 13, LM = 15, KM = 8.
Mожно найти заданный косинус угла LMK.
cos LMK = (15²+8²-13²)/(2*15*8) = (225+64-169)/240 = 120/240 = 1/2.
Угол LMK равен arc cos(1/2) = 60°.