Прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c подобен прямоугольному...

Так как треугольники подобны, то отношение их соответствующих сторон одинаково, т.е. $\frac{a}{a_{1}} = \frac{b}{b_{1}} = \frac{c}{c_{1}} = k$ . Отсюда, $a a_{1} + b b_{1} = k a_{1}^2 + k b_{1}^2 = k (a_{1}^2 + b_{1}^2)$ . По теореме Пифагора $a_{1}^2 + b_{1}^2 = c_{1}^2$ , значит $a a_{1} + b b_{1} = k c_{1}^2 = (k c_{1}) c_{1} = c c_{1}$ . Что и требовалось доказать.