Объем призмы
V=Sh
где S - площадь треугольника-основания
h - высота призмы
Площадь треугольника
S=a*ht/2,
где ht - высота треугольника,
а - его сторона.
Найдем площадь основания исходя из определения синуса/теоремы пифагора:
S=a*sqrt(a^2-(a/2)^2)/2=a*sqrt(a^2-a^2/4)/2=(sqrt(3)*a^2)/4=a^2*sin60/2
Выразим высоту призмы:
h=V/S=2*V/(a^2*sin60)
Пусть P - площадь поверхности, тогда она считается из трех боковых сторон и двух оснований:
P(a)=3ha+2S=6*V/(a^2*sin60)+a^2*sin60
Найдем производную для нахождения минимума:
P`(a)=-6V*2*a*sin60/a^4+2a*sin60=0
делим обе части на 2sin60, переносим a в другую часть:
-6V/a^3=-a, a не может быть равно 0.
a^4=6V - это парабола, так что найденное решение будет единственным минимумом
a=(корень четвертой степени из 6V)
Ответ: при а=(корень четвертой степени из 6V) полная поверхность призмы будет наименьшей
надеюсь, нигде не ошибся, но лучше пересчитать ) на всякий случай