Номера 1,3,4 Помогите хоть немножко, пожалуйста

Question

Дан 1 ответ

red321_zn · Answer 1 · 2018-05-11T13:20:59+0000

1.
$ax^2-4x+(3a+1)=0\\(x_1-x_2)^2\ \textless \ 8\\x_1\neq x_2;\ x_1,x_2\in R\\\\a-?$

Распишем х₁ и х₂ через дискриминант.
$ax^2-4x+(3a+1)=0\\x_1=\frac{4+\sqrt{D}}{2a};\ x_2=\frac{4-\sqrt{D}}{2a}\\\\x_1-x_2=\frac{4+\sqrt{D}}{2a}-\frac{4-\sqrt{D}}{2a}=\frac{\sqrt{D}}{a}\\\\(x_1-x_2)^2\ \textless \ 8\\(\frac{\sqrt{D}}{a})^2\ \textless \ 8\\\frac{D}{a^2}\ \textless \ 8\\D\ \textless \ 8a^2$

Найдём D и подставим:
$ax^2-4x+(3a+1)=0\\D=16-4a(3a+1)=-12a^2-4a+16\\\\D \ \textless \ 8a^2\\-12a^2-4a+16\ \textless \ 8a^2\\20a^2+4a-16\ \textgreater \ 0\\5a^2+a-4\ \textgreater \ 0$
Решая неравенство методом интервалов получим:
a∈(-∞;-1)U(4/5;+∞)

Для того, чтобы трёхчлен имел действительные, различные корни необходимо чтобы дискриминант был положительный. Получаем:
$D\ \textgreater \ 0\\ -12a^2-4a+16\ \textgreater \ 0\\3a^2+a-4\ \textless \ 0$
Решая методом интервалов получаем:
a∈(-4/3; 1)

Объединяя ответы получим:
a∈(-4/3; -1)U(4/5; 1)

Ответ: a∈(-4/3; -1)U(4/5; 1)

3.
$x^2-4ax+(5a-1)=0\\x_1^2+x_2^2=2\\\\a-?$

Распишем:
$x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2$

По теореме Виета:
$\left \{ {{x_1+x_2=4a} \atop {x_1*x_2=5a-1}} \right.$

Подставляем:
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(4a)^2-2(5a-1)=16a^2-10a+2$
По условию это выражение равно 2:
$16a^2-10a+2=2\\16a^2-10a=0\\2a(8a-5)=0\\a=0\ \ \ ili\ \ \ a=\frac{5}{8}$

Ответ: a=0; a=5/8

4.
$x^2+(a-2)*|x|+(5-6a+a^2)=0\\x_1\neq x_2\\\\a-?$

Для того, чтобы трёхчлен имел два различных корня, необходимо чтобы дискриминант был ненулевой. То есть:
$D\neq 0\\D=(a-2)^2-4*(5-6a+a^2)=a^2-4a+4-20+24a-4a^2=\\=-3a^2+20a-16\\\\-3a^2+20a-16\neq 0\\D=400-192=208=16*13\\\sqrt{D}=4\sqrt{13}\\a_1\neq\frac{-20+4\sqrt{13}}{-6}=\frac{10-2\sqrt{13}}{3}\\ a_2\neq\frac{-20-4\sqrt{13}}{-6}=\frac{10+2\sqrt{13}}{3}$

{В данной задаче модуль не влиял на ответ. Как мы знаем модуль влияет на знак. В нашей задаче мы этот знак, в дискриминанте, возводили в квадрат.}

Ответ: $\boxed{a\neq \frac{10\pm 2\sqrt{13}}{3}}$