Помогите решить интеграл

Question

Дан 1 ответ

Minsk00_zn · Answer 1 · 2018-05-11T13:50:59+0000

Найти неопределенный интеграл

$\int\limits { \frac{x+4}{2x^2-6x-8} } \, dx$

Решение
В начале вынесем общий множитель за знак интеграла

$\int\limits { \frac{x+4}{2x^2-6x-8} } \, dx = \frac{1}{2} \int\limits { \frac{x+4}{x^2-3x-4} } \, dx$

Разложим знаменатель дроби на множители
      x² - 3x - 4 =0
   D = 3² -4*(-4) =9+16 =25
$x_1 = \frac{3- \sqrt{25} }{2}= \frac{3-5}{2}=-1$

$x_1 = \frac{3+ \sqrt{25} }{2}= \frac{3+5}{2}= 4$

Следовательно можно записать, что
   x² - 3x - 4 = (x+1)(x-4)

Разложим дробь $\frac{x+4}{x^2-3x-4}$ yна сумму простых дробей

$\frac{x+4}{x^2-3x-4} = \frac{A}{x+1}+ \frac{B}{x-4}$

где A и В числа которые мы найдем

$\frac{A}{x+1}+ \frac{B}{x-4} =\frac{A(x-4)+B(x+1)}{(x+1)(x-4)}=\frac{(A+B)x -4A+B}{(x+1)(x-4)}$
Поскольку числитель дроби должен быть равен х+4 то приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
Для этого решим систему уравнений

$\left \{ {{A+B=1} \atop {B-4A=4}} \right.$

из первого уравнения выражаем переменную В и подставляем во второе уравнение
   В = 1 - А
   1 - А - 4А = 4
   1 - 5А = 4
   5А = -3
   А = -0,6
В = 1-(-0,6) =1,6
Поэтому
   $\frac{x+4}{x^2-3x-4} = \frac{-0,6}{x+1}+ \frac{1,6}{x-4}$

Находим интеграл
$\int\limits { \frac{x+4}{2x^2-6x-8} } \, dx = \frac{1}{2} \int\limits { \frac{x+4}{x^2-3x-4} } \, dx=\frac{1}{2} \int\limits { \frac{1,6}{x-4} } \, dx-\frac{1}{2} \int\limits { \frac{0,6}{x+1} } \, dx=$ $\frac{4}{5} \int\limits { \frac{1}{x-4} } \, dx-\frac{3}{10} \int\limits { \frac{1}{x+1} } \, dx=\frac{4}{5} ln|x-4|-\frac{3}{10} ln|x+1|+C$