Задание №35: Найдите острый угол, если отношение периметра ромба к сумме диагоналей равно...

Пусть а - сторона ромба ABCD, α - искомый острый угол. Диагонали ромба AC и BD делят его на 4 равных треугольника. Рассмотрим треугольник ВОС: угол ВОС=α/2, так как диагонали ромба являются биссектрисами углов. Выражаем катеты через тригонометрические функции и гипотенузу - сторону ромба, обозначенную за а:
$BO=a\cos\frac{ \alpha }{2} \\\ CO=a\sin\frac{ \alpha }{2}$
Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то сами диагонали будут равны $2a\cos \frac{\alpha }{2}$ и $2a\sin \frac{\alpha }{2}$ . Периметр ромба равен $4a$ .
Составляем заданное отношение:
$\dfrac{4a}{2a\sin \frac{ \alpha }{2} +2a\cos \frac{ \alpha }{2} } = \sqrt{3} \\\ \dfrac{2}{\sin \frac{ \alpha }{2}+\cos \frac{ \alpha }{2}} = \sqrt{3} \\\ \sin \frac{ \alpha }{2}+\cos \frac{ \alpha }{2}= \frac{2}{ \sqrt{3} } \\\ \sin^2 \frac{ \alpha }{2}+\cos^2 \frac{ \alpha }{2}+2\sin \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \alpha }{2}=(\frac{2}{ \sqrt{3} } )^2 \\\ 1+\sin \alpha = \frac{4}{ 3 } \\\ \sin \alpha = \frac{1}{ 3 } \\\ \alpha=\arcsin \frac{1}{ 3 }$
Ответ: arcsin(1/3)