Две окружности пересекаются в точках А и В так, что их центры лежат по разные стороны от...

Question

Две окружности пересекаются в точках А и В так, что их центры лежат по разные
стороны от отрезка АВ. Через точку А проведены касательные к этим окружностям АС
и АЕ (точка С лежит на первой окружности, а точка Е – на второй). Площадь
четырехугольника АСВЕ в 5 раз больше площади треугольника АВС, BD – биссектриса
угла АВЕ (точка D лежит на хорде АЕ).
а) Найти отношение длин отрезков АВ и ВС.
б) Найти значения чисел p и q, если AB=pBE+qDE

Answer 1

∠CAD=∠AEB=α (первый угол между касательной и хордой, второй вписанный); ∠BAE=∠ACB=β по тем же причинам ⇒ΔABC подобен ΔEBA. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда площади треугольников относятся как k^2, а поскольку площадь 4-угольника ACBE, состоящего из этих треугольников, относится к площади первого как 5 к 1, то площадь второго относится к площади первого как 4 к 1, а тогда коэффициент подобия равен 2 ⇒AB:BC=2:1

Второй вопрос корректен при условии, что речь идет о векторах. Так и будем считать. Поскольку по доказанному AB:BC=2:1 (сейчас мы их рассматриваем как стороны первого Δ), стороны второго относятся так же, BE:AB=2:1. Поскольку биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам,  ED/DA=2/1.

Теперь равенства будут векторные.

AB=AE+EB=(3/2)DE-BE⇒p= - 1; q=3/2