Докажите, что при любом натуральном n > 1, n ∈ ℕ выполняется(1/(n+1) + 1/(n+2) + ... +...

Question

Докажите, что при любом натуральном n > 1, n ∈ ℕ выполняется
(1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n ) > 13/24

---

Answer 1

Метод матем индукции

1) проверяем выполнимость при n=2
(1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n ) = (1/3 + 1/4) = 7/12 = 14/24 > 13/24 - выполняется

2) допустим  выполнимость при n=к
(1/(к+1) + 1/(к+2) + ... + 1/2к ) = А > 13/24 - выполняется

3) проверим выполнимость при n=к+1
(1/(к+1+1) + 1/(к+2) + ... + 1/2к + 1/(2к+1) +1/(2к+2)) = А - 1/(к+1+1) + 1/(2к+1) +1/(2к+2) = А - 2/(2к+4) + 1/(2к+1)+1/(2к+2) = А + ( 1/(2к+1) -1/(2к+4)) + (1/(2к+2) -1/(2к+4) ) = А+В+С
В = 1/(2к+1) -1/(2к+4) > 0
C = 1/(2к+2) -1/(2к+4) > 0
А+В+С > A >  13/24 - выполняется

Comments

УВИДЕЛ СВОЮ ОШИБКУ !!!
ПЕРЕПИСЫВАЮ ПУНКТ 3 РЕШЕНИЯ
3) проверим выполнимость при n=к+1
( 1/(к+2) + ... + 1/2к + 1/(2к+1) +1/(2к+2)) = А - 1/(к+1) + 1/(2к+1) +1/(2к+2) = А - 2/(2к+2) + 1/(2к+1)+1/(2к+2) = А + ( 1/(2к+1) -1/(2к+2)) + (1/(2к+2) -1/(2к+2) ) = А+В+С
В = 1/(2к+1) -1/(2к+2) > 0
С = 1/(2к+2) -1/(2к+2) = 0
А+В+С = А+В > A > 13/24 - выполняется !!! что и требовалось доказать

---

thanks