Докажите, что при любом натуральном n > 1, n ∈ ℕ выполняется (1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n ) > 13/24
Метод матем индукции 1) проверяем выполнимость при n=2 (1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n ) = (1/3 + 1/4) = 7/12 = 14/24 > 13/24 - выполняется 2) допустим выполнимость при n=к (1/(к+1) + 1/(к+2) + ... + 1/2к ) = А > 13/24 - выполняется 3) проверим выполнимость при n=к+1 (1/(к+1+1) + 1/(к+2) + ... + 1/2к + 1/(2к+1) +1/(2к+2)) = А - 1/(к+1+1) + 1/(2к+1) +1/(2к+2) = А - 2/(2к+4) + 1/(2к+1)+1/(2к+2) = А + ( 1/(2к+1) -1/(2к+4)) + (1/(2к+2) -1/(2к+4) ) = А+В+С В = 1/(2к+1) -1/(2к+4) > 0 C = 1/(2к+2) -1/(2к+4) > 0 А+В+С > A > 13/24 - выполняется
УВИДЕЛ СВОЮ ОШИБКУ !!! ПЕРЕПИСЫВАЮ ПУНКТ 3 РЕШЕНИЯ 3) проверим выполнимость при n=к+1 ( 1/(к+2) + ... + 1/2к + 1/(2к+1) +1/(2к+2)) = А - 1/(к+1) + 1/(2к+1) +1/(2к+2) = А - 2/(2к+2) + 1/(2к+1)+1/(2к+2) = А + ( 1/(2к+1) -1/(2к+2)) + (1/(2к+2) -1/(2к+2) ) = А+В+С В = 1/(2к+1) -1/(2к+2) > 0 С = 1/(2к+2) -1/(2к+2) = 0 А+В+С = А+В > A > 13/24 - выполняется !!! что и требовалось доказать
thanks
