. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а...

Пускай нам дана трапеция ABCD (ВС и АD - основания) ,
ее диагональ АС = ВС + AD
угол между диагоналями АС и ВD равен 60°

Доказать, что АВСD - равнобедренная трапеция

Доказательство:
проведем из пункта В прямую к диагонали АС (пункт пересечения обозначим О), так, что ВС = СО

тогда АО = АС - СО = (ВС + AD) - ВС = AD
имеем два равнобедренных треугольника ∆ВСО (ВС = СО) и ∆AOD (АО = AD)
(∆BCO- равнобедренный)
(∆AOD- равнобедренный)
(накрест лежащие) ==>
Раз , а стороны АО и СО этих углов лежат на одной прямой, то -вертикальные
и значит ВО и OD лежат на одной прямой ==>
O - пункт пересечения диагоналей AC и BD

тогда (по условию)

==>
==> ∆BCO и ∆AOD - равносторонние

BC = CO = OB (∆BCO - равносторонний)
AO = OD = AD (∆AOD - равносторонний)
(вертикальные) ==>
==> ∆BOA = ∆COD (по двум сторонам и углу между ними)
значит BA = CD
и делаем вывод, что ABCD - равнобедренная трапеция
всё =)