Докажите что при любом натуральном значении n выполняется равентсво:

$1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2}$
При n=1 $1= \frac{1(1+1)}{2}$ верно
Пусть при n=k $1+2+...+k= \frac{k(k+1)}{2}$ верно
Докажем, что при n=k+1 равенство будет также верно
$1+2+...+k+k+1= \frac{k(k+1)}{2}+k+1= \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

$1+4+...+(3n-2)= \frac{n(3n-1)}{2}$
При n=1 $1= \frac{1(3-1)}{2}$ верно
Пусть при n=k $1+4+...+(3k-2)= \frac{k(3k-1)}{2}$ верно
Докажем, что при n=k+1 равенство будет также верно
$1+4+...+(3k-2)+(3(k+1)-2)= \frac{k(3k-1)}{2} +(3k+1)= \\\ = \frac{k(3k-1)+2(3k+1)}{2}= \frac{3k^2-k+6k+2}{2} = \frac{3k^2+3k+2k+2}{2} = \frac{(3k+2)(k+1)}{2}$