26x^2+10y^2-30xy+6x+10y+34=0

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Пусть наше решение имеет координаты А(x;y) теперь наша задача избавиться от сомножителя ху, для этого повернем наше координатную плоскость на угол альфа,затем мы получим какие то
координаты при сохранившимися точки А , только A(x';y') .Первый коэффициент равен 26, второй 10, третий делим пополам получим -15 Найдем тот угол на который мы его повернули , по формуле тангенса двойного угла $tg2a=\frac{2*-15}{26-10}=\frac{2tga}{1-tg^2a}\\$ теперь решим наше уравнение относительно tga , получим $tga= -\frac{3}{5}\\ tga=\frac{5}{3}\\$ возьмем любой угол.Найдем теперь углы относительно каждой оси ОХ и ОУ . Для этого выразим косинусы , через тангенс $cosa=\frac{3}{\sqrt{34}}\\ sina=\frac{5}{\sqrt{34}}\\$ Теперь разложим на составляющие базисы, то есть мы их повернули, теперь распишем их по углам
$x=\frac{3x'}{\sqrt{34}}-\frac{5y'}{\sqrt{34}}\\ y=\frac{5x'}{\sqrt{34}}+\frac{3y'}{\sqrt{34}}\\$
Теперь подставим эти значения в наше уравнение
$26x^2+10y^2-30xy+6x+10y+34=0\\$
Получим
$35y^2'+x^2'+2\sqrt{34}x'+34=0\\ 35y^2'+ (x'+\sqrt{34})^2=0\\$
сумма квадратов равна 0 , только тогда когда они сами равны 0, то есть приравняем каждое уравнение к 0 получим
$x=-\sqrt{34}\\ y=0\\$
теперь зная эти координаты , получим координаты Нашей искомой точки А без поворота!
Подставим эти значение где разложили на составляющие базисы получим
x=-3
y=-5

Матов_zn (224k баллов) 13 Март, 18