Решите уравнение. sin 5x + sin x + 2 sin^2 x = 1

$\sin5x+\sin x-(1-2\sin^2x)=0$
Преобразуем суммы синусов двух углов в произведение:
$2\sin \frac{5x+x}{2} \cos \frac{5x-x}{2} -\cos2x=0\\ 2\sin3x\cos2x-\cos2x=0$
Выносим общий множитель
$\cos 2x(2\sin 3x-1)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$\cos 2x=0\\ 2x= \dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z} |:2\\ \\ x= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} ,n \in \mathbb{Z}$

$2\sin 3x-1=0\\ \sin3x= \frac{1}{2} \\ 3x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}|:3\\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3} ,k \in \mathbb{Z}$