A = (1 + y/x)(1 + z/y)(1 + x/z) = (1 + y/x + z/y + y/x*z/y)(1 + x/z) =
= 1 + y/x + z/y + z/x + x/z + y/x*x/z + z/y*x/z + z/x*x/z =
= 1 + (y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(z/x+x/z) + 1 = 2 + (y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(z/x+x/z)
Каждая скобка - это сумма числа и обратного к нему числа, t + 1/t.
Такая сумма не меньше 2 при t > 0 (и не больше -2 при t < 0).
Поэтому, если x > 0; y > 0; z > 0, то A >= 2 + 2 + 2 + 2 = 8
Причем равенство A = 8 будет только при x = y = z = 1.