Выведите формулу для суммы членов последовательности: или докажите, что Заранее спасибо!

0 голосов
29 просмотров
Выведите формулу для суммы членов последовательности:
\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + ... + \dfrac{1}{(n + 1)^2}
или докажите, что
\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + ... + \dfrac{1}{(n + 1)^2} \ \textless \ 1
Заранее спасибо!
Алгебра (145k баллов) | 29 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Заметим, что 
\displaystyle \frac1{n^2}\ \textless \ \frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1n

Тогда
\displaystyle\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\dots+\frac1{(n+1)^2}\ \textless \ \frac11-\frac12+\frac12-\frac13\dots+\frac1n-\frac1{n+1}=\\=1-\frac1{n+1}\ \textless \ 1

(148k баллов)
Похожие задачи