Докажите, что при любом n ∈ N неравенство верно:

Используем метод математической индукции

1) n∈N

пусть n=1

тогда
$\displaystyle 4^1\ \textgreater \ 7*1-5$

$\displaystyle 4\ \textgreater \ 2$

верно

2) допустим верно для n=K. k∈N. k>1

т.е. $\displaystyle 4^k\ \textgreater \ 7*k-5$ верно

3) докажем что верно для n=k+1

$\displaystyle 4^{k+1}\ \textgreater \ 7*(k+1)-5$

Используя предположение индукции

т.к. $\displaystyle 4^k\ \textgreater \ 7k-5$
домножим неравенство на 4

$\displaystyle 4^{k+1}\ \textgreater \ (7k-5)*4$

$\displaystyle 4^{k+1}\ \textgreater \ 28k-20$

теперь имеем
$\displaystyle \left \{ {{4^{k+1}\ \textgreater \ 7k+2} \atop {4^{k+1}\ \textgreater \ 28k-20} \right.$

сравним правые части
$\displaystyle 28k-20\ \textgreater \ 7k+2$

$\displaystyle 28k-7k\ \textgreater \ 2+20$

$\displaystyle 21k\ \textgreater \ 22$

т.к. k∈N. k>1
то неравенство верное для любого к
значит если
$\displaystyle 4^{k+1}\ \textgreater \ 28k-20\ \textgreater \ 7k+2$

Значит неравенство истинно для n=k+1

Вывод:
Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.