При каких значениях параметра p отношение корней уравнения x^2 +2px+1=0 равно 9?

Question 1

Question 2

Пусть, первый корень равен $x_1$ , тогда второй корень равен:
$x_2=x_1\cdot 9=9x_1$

Так как :
$\frac{x_2}{x_1}=9$

По теореме Виета, любое квадратное уравнение, можно представить с помощью его корней:
$a(x-x_1)(x-x_2)$

В нашем случае a=1.

Следовательно, имеем следующее уравнение:
$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2=x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2$

Так как:
$x_2=9x_1$

Следовательно:
$x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2=x^2-10x_1x+9x_1^2$

Таким образом:
$x^2-10x_1x+9x_1^2=x^2 +2px+1$

$-10x_1x=2px \\-5x_1=p$

$9x_1^2=1 \\x_1^2= \frac{1}{9} \\x_{1_{1,2}}= \pm\sqrt{ \frac{1}{9} } =\pm \frac{1}{3}$

Следовательно, p равен:
$p_1=-5 \cdot \frac{1}{3} =-1 \frac{2}{3} \\p_2=-5\cdot (- \frac{1}{3} )=1 \frac{2}{3}$

Newtion_zn · Answer 1 · 2018-03-13T08:46:22+0000

Пусть, первый корень равен $x_1$ , тогда второй корень равен:
$x_2=x_1\cdot 9=9x_1$

Так как :
$\frac{x_2}{x_1}=9$

По теореме Виета, любое квадратное уравнение, можно представить с помощью его корней:
$a(x-x_1)(x-x_2)$

В нашем случае a=1.

Следовательно, имеем следующее уравнение:
$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2=x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2$

Так как:
$x_2=9x_1$

Следовательно:
$x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2=x^2-10x_1x+9x_1^2$

Таким образом:
$x^2-10x_1x+9x_1^2=x^2 +2px+1$

$-10x_1x=2px \\-5x_1=p$

$9x_1^2=1 \\x_1^2= \frac{1}{9} \\x_{1_{1,2}}= \pm\sqrt{ \frac{1}{9} } =\pm \frac{1}{3}$

Следовательно, p равен:
$p_1=-5 \cdot \frac{1}{3} =-1 \frac{2}{3} \\p_2=-5\cdot (- \frac{1}{3} )=1 \frac{2}{3}$