Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: y'...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Если левую и правую часть уравнения разделить на cos(x), то уравнение относится к типу линейным, неоднородным дифференциальным уравнениям.

Применим метод Бернулли.
Пусть $y=uv$ , тогда $y'=u'v+uv'$ . Подставим в исходное уравнение.
$uv\sin x+(u'v+uv')\cos x = 1\\ u(v\cdot \sin x+v'\cdot \cos x)+u'v\cos x=1$
Решение состоит из двух этапов:
1) Предполагаем что первое слагаемое примем за 0.
$u(v\cdot \sin x + v'\cdot \cos x)=0\\ v\sin x+v'\cos x=0|:\cos x\\ vtg x+v'=0\\ v'=-v\cdot tgx$
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам, имеем:
$\displaystyle \frac{dv}{dx} =-v tg x$

$\displaystyle \frac{dv}{v} =-tg x\,\, dx$ - уравнение с разделёнными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения
$\displaystyle \int\limits { \frac{dv}{v} } = -\int\limits {tgx} \, dx\\ \ln|v|=\ln |cos x|\\ v=\cos x$
2) После того как нашли v(x), найдем u(x) из условия $u'v\cos x=1$
Подставим
$u'\cos ^2x=1\\ \\ u'= \dfrac{1}{\cos^2 x}$
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя обе части уравнения, получим
$\displaystyle u= \int\limit {\dfrac{dx}{\cos^2 x} } =tg x+C$
Таким образом, чтобы найти решение данного дифференциального уравнения, остаётся выполнить обратную замену.
$y=uv=(tg x + C)\cdot \cos x=\sin x+C\cdot \cos x$ - общее решение.

Ответ: $y=\sin x+C\cdot \cos x$

аноним 11 Май, 18