А²+(a+1)²=2a²+2a+1 - нечетное
(b-1)³+b³+(b+1)³=(b³-3b²+3b-1)+b³+(b³+3b²+3b+1)=3b³+6b - делится на 3
попробуем проверить 2a²+2a+1 делимость на 3
пусть а=3*к => 2a²+2a+1=18k²+6k+1 - не делится на 3
пусть а=3*к+1 => 2a²+2a+1=18k²+12k+2+6k+2+1=18k²+18k+5 - не делится на 3 т
пусть а=3*к-1 => 2a²+2a+1=18k²-12k+2+6k-2+1=18k²-6k+1 - не делится на 3
вывод
сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел не может равняться сумме кубов трех последовательных натуральных чисел