Из середин сторон правильного треугольника площади 1 опущены перпендикуляры ** стороны (...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Рассмотри одну незакрашенную область. Разделим четырехугольник АВОС ,биссектрисой АО на два треугольника АВО и АСО. Общая площадь незакрашенной части будет равна шести площадям треугольника АОС.
Пусть сторона треугольника равна а. Тогда, так как высоты проводили из середин сторон, АВ=АС=а/2.
Так как углы правильного треугольника равны 60°, то углы АВМ и АСК равны по 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, следовательно, АК=АМ=а/4.
Найдем высоту ОМ треугольника АОС:
$\mathrm{tg}OAM= \frac{OM}{AM} \\\ OM=AM\cdot \mathrm{tg}OAM \\\ OM= \frac{a}{4} \cdot \mathrm{tg}30^\circ= \frac{a \sqrt{3} }{12}$
Найдем площадь треугольника АОС:
$S_{AOC}= \frac{1}{2} \cdotOM\cdot AC \\\ S_{AOC}= \frac{1}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{12}\cdot \frac{a }{2}=\frac{a ^2\sqrt{3} }{48}$
Найдем площадь незакрашенной части:
$S_n=6S_{AOC} \\\ S_n=6\cdot\frac{a ^2\sqrt{3} }{48}=\frac{a ^2\sqrt{3} }{8}$
Так как площадь всего треугольника известна, то выразим ее через а:
$S=\frac{a ^2\sqrt{3} }{4}=1$
Видно, что площадь незакрашенной части составляет половину площади всего треугольника, то есть она равна 1/2. Тогда площадь закрашенной части равна 1-1/2=1/2.
Ответ: 1/2

Artem112_zn (271k баллов) 11 Май, 18