1/√1 + 2/√2 + 3/√3 + … + 1/√n ≥ √n Докажите, используя метод индукции

Question

1/√1 + 2/√2 + 3/√3 + … + 1/√n ≥ √n
Докажите, используя метод индукции

Comments

Видимо, должно быть 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + ... ?

Answer 1

1) База индукции: 1/√1 >= √1
2) Пусть утверждение верно для n. Докажем для n+1:

1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√n + 1/√(n+1) >= √n + 1/√(n+1)

√n + 1/√(n+1) - √(n+1) = ( √n - √(n+1) ) * ( √n + √(n+1) )/( √n + √(n+1) ) + 1/√(n+1) = 1/√(n+1) - 1/( √n + √(n+1) ) >= 0 { т.к. √(n+1) <= </span>√n + √(n+1) }

т.е. 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√n + 1/√(n+1) >= √n + 1/√(n+1) >= √(n+1)

Comments

Почему справа ты ставишь √n + 1/√(n+1) изначально?

---

вопрос снят