Найдите все пары (m,n) натуральных чисел для которых m^2=n^2+63

Question

Найдите все пары (m,n) натуральных чисел для которых m^2=n^2+63

Answer 1

M^2=n^2+63;
m^2-n^2=63;
(m-n)(m+n)=63;
Т.к. m и n натуральные числа, то m-n и m+n нужно искать среди множителей числа 63.
63 = 1*63 = 3*21 = 7*9.
Если m-n=1, m+n=63, то m=32, n=31.
Если m-n=3, m+n=21, то m=12, n=9.
Если m-n=7, m+n=9, то m=8, n=1.
Ответ: (32;31), (12;9), (8;1).

Comments

Легко проверить любую пару решений, должно выполняться равенство m^2=n^2+63. Пара чисел 12 и 9 правильная.

---

У меня сейчас нет времени. Опубликуйте эту задачу как отдельное задание. Если желаете, можете сообщить мне ссылку в моем профиле.

---

Обозначим корни уравнения х1 и х2. По условию задачи:
х1+х2=11,
х1-х2=√39.
Отсюда (х1+х2)^2=121,
(x1-x2)^2=39,
(х1+х2)^2-(x1-x2)^2=121-39,
4*x1*x2=82,
x1*x2=20,5.
По теореме Виета такие корни будет иметь квадратное уравнение вида
x^2+px+q=0 при p=-(x1+x2)=-11 и q=x1*x2=20,5, т.е.
x^2-11x+20,5=0 или 2x^2-22x+41.
Корни этих уравнений х1=(22+2√39)/4, х2=(22-2√39)/4.

---

2x^2-22x+41=0