[email protected]

$\lim_{n \to0} \frac{ \sqrt{1+x} - \sqrt{1+ x^{2} } }{ \sqrt{1+x}-1 }$

$\frac{ \sqrt{1+x} - \sqrt{1+ x^{2} } }{ \sqrt{1+x}-1 }=\frac{ (\sqrt{1+x} - \sqrt{1+ x^{2} })( \sqrt{1+x}+ \sqrt{1+x^2})( \sqrt{x+1}+1) }{ (\sqrt{1+x}-1 )( \sqrt{x+1}+1)( \sqrt{1+x^2}) }=$ $= \frac{(1+x-1-x^2)( \sqrt{x+1}+1) }{(x+1-1)( \sqrt{1+x}+ \sqrt{1+x^2}) } = \frac{x(1-x)( \sqrt{x+1}+1) }{x( \sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2}) } =\frac{(1-x)( \sqrt{x+1}+1) }{ \sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2} }$

$\lim_{n \to0} \frac{(1-x)( \sqrt{x+1}+1) }{ \sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2} } = \lim_{n \to 0} \frac{(1-0)( \sqrt{0+1}+1) }{ \sqrt{1+0} + \sqrt{1+0^2} }= \frac{2}{2} =1$

Ответ: 1