Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке Н. Одна высота треугольника...

Question

Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке Н. Одна высота треугольника делится этой точкой пополам, вторая высота делится в отношении 2: 1, начиная от вершины. Найти отношение, в котором точка Н делит третью высоту.
А. 1:3; Б. 1:6;
В. 2:3; Г. 2:5.

Answer 1

Треугольник ABC, высоты AA1; BB1; CC1; точка пересечения H;
Задано AH/HA1 = 1; BH/HB1 = 2; надо найти CH/HC1;
Теорема Ван-Обеля дает
AC1/C1B + AB1/B1C = AH/HA1 = 1;
BC1/C1A + BA1/A1C = BH/HB1 = 2;
(AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A) = 1;
А найти надо CH/HC1 = CB1/B1A + CA1/A1B;
Вот теперь надо что-то делать, чтобы можно было с этим работать.
Пусть AC1/C1B = a; BA1/A1C = b; CB1/B1A = c; 
тогда вся эта абракадабра переписывается так
a + 1/c = 1; 
1/a + b = 2; 
abc = 1; 
и надо найти c + 1/b; 
теперь видно, что эту систему очень легко решить.
из второго уравнения 1 + ab = 2a; => 1/c = 2a - 1; тогда из  первого получается 3a - 1 = 1; a =2/3; далее b = 1/2; c = 3;
c + 1/b = 5 = CH/HC1;