Имеем правильный тетраэдр. Обозначим его рёбра а.
Проведём осевое сечение через одно из рёбер.
Получим треугольник, 2 стороны которого равны высоте равностороннего треугольника (это а√3/2) и одна сторона - это ребро а.
Вершина правильного тетраэдра проецируется на основание в точку пересечения медиан (они же и высоты, и биссектрисы). Эта точка делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Высота Н правильного тетраэдра - это катет прямоугольного треугольника, равный:
Н = √(а²-((2/3)*(а√3/2))²) = √(а²-(3/9)*а²) = а√(2/3).
Это общая формула для определения высоты правильного тетраэдра.
Теперь подставим значение ребра а = 3.
Тогда Н = 3*(√(2/3) = 3√2/√3 = √6.