Решите уравнения, пожалуйста.

Question 1

Question 2

$\dfrac{3x}{x^2+2x-7}+ \dfrac{9x}{x^2-3x-7}=4$
ОДЗ:
$x^2+2x-7 \neq 0 \\\ D_1=(-1)^2-1\cdot(-7)=8 \\\ x \neq -1\pm \sqrt{8}$
$x^2-3x-7 \neq 0 \\\ D=3^2-1\cdot(-7)=16\\\ x \neq3.5;\ x \neq-0.5$
Убедимся, что х=0 - не корень этого уравнения и выполним следующее преобразование:
$\dfrac{3}{x+2- \frac{7}{x} }+ \dfrac{9}{x-3- \frac{7}{x} }=4$
Теперь удобно выполнить замену: $x- \frac{7}{x} =y$
$\dfrac{3}{y+2 }+ \dfrac{9}{y-3}=4$
ОДЗ для новой переменной: $y \neq -2; \ y \neq 3$
$3(y-3)+9(y+2)=4(y+2)(y-3) \\\ 3y-9+9y+18=4y^2-12y+8y-24 \\\ 4y^2-16y-33=0 \\\ D_1=(-8)^2-4\cdot(-33)=64+132=196 \\\ y_1= \dfrac{8+14}{4} = \dfrac{11}{2} \\\\ y_2= \dfrac{8-14}{4} =- \dfrac{3}{2}$
Возвращаемся к переменной х:
1)
$x- \dfrac{7}{x} =\dfrac{11}{2} \\\\ x- \dfrac{7}{x}-\dfrac{11}{2}=0 \\\\ 2x^2-14-11x=0 \\\ 2x^2-11x-14=0 \\\ D=(-11)^2-4\cdot2\cdot(-14)=121+112=233 \\\ x_{1.2}= \dfrac{11\pm \sqrt{233} }{4}$
2)
$x- \dfrac{7}{x} =-\dfrac{3}{2} \\\\ x- \dfrac{7}{x}+\dfrac{3}{2}=0 \\\\ 2x^2-14+3x=0 \\\ 2x^2+3x-14=0 \\\ D=3^2-4\cdot2\cdot(-14)=9+112=121 \\\ x_3= \dfrac{-3-11}{2\cdot2} =-3.5 \\\\ x_4= \dfrac{-3+11}{2\cdot2} =2$
Ответ: $\dfrac{11\pm \sqrt{233} }{4}$ ; -3.5; 2

$x^2+ \dfrac{121}{x^2} -10x- \dfrac{110}{x} =2$
ОДЗ: $x \neq 0$
$x^2+ \dfrac{121}{x^2} -10\left(x+ \dfrac{11}{x} \right)=2$
Замена: $x+ \dfrac{11}{x}=z$ . Тогда:
$\left(x+ \dfrac{11}{x} \right)^2=z^2 \\\\ x^2+2\cdot x\cdot \dfrac{11}{x}+\dfrac{121}{x^2}=z^2 \\\\ x^2+22+\dfrac{121}{x^2}=z^2 \\\\ x^2+\dfrac{121}{x^2}=z^2-22$
Получаем уравнение:
$z^2-22 -10z=2 \\\ z^2-10z-24=0 \\\ D_1=(-5)^-1\cdot(-24)=25+24=49 \\\ z_1= 5+7=12 \\\ z_2= 5-7=-2$
Возвращаемся к переменной х:
1)
$x+ \dfrac{11}{x}=12 \\\\ x+ \dfrac{11}{x}-12=0 \\\ x^2+11-12x=0 \\\ x^2-12x+11=0 \\\ (x-1)(x-11)=0 \\\ x_1=1 \\\ x_2=11$
2)
$x+ \dfrac{11}{x}=-2 \\\\ x+ \dfrac{11}{x}+2=0 \\\ x^2+11+2x=0 \\\ x^2+2x+11=0 \\\ D_1=1-1\cdot11\ \textless \ 0$
Последнее уравнение не имеет корней.
Ответ:1; 12.

Question 3

Спасибо!

Artem112_zn · Answer 1 · 2018-05-11T23:29:44+0000

$\dfrac{3x}{x^2+2x-7}+ \dfrac{9x}{x^2-3x-7}=4$
ОДЗ:
$x^2+2x-7 \neq 0 \\\ D_1=(-1)^2-1\cdot(-7)=8 \\\ x \neq -1\pm \sqrt{8}$
$x^2-3x-7 \neq 0 \\\ D=3^2-1\cdot(-7)=16\\\ x \neq3.5;\ x \neq-0.5$
Убедимся, что х=0 - не корень этого уравнения и выполним следующее преобразование:
$\dfrac{3}{x+2- \frac{7}{x} }+ \dfrac{9}{x-3- \frac{7}{x} }=4$
Теперь удобно выполнить замену: $x- \frac{7}{x} =y$
$\dfrac{3}{y+2 }+ \dfrac{9}{y-3}=4$
ОДЗ для новой переменной: $y \neq -2; \ y \neq 3$
$3(y-3)+9(y+2)=4(y+2)(y-3) \\\ 3y-9+9y+18=4y^2-12y+8y-24 \\\ 4y^2-16y-33=0 \\\ D_1=(-8)^2-4\cdot(-33)=64+132=196 \\\ y_1= \dfrac{8+14}{4} = \dfrac{11}{2} \\\\ y_2= \dfrac{8-14}{4} =- \dfrac{3}{2}$
Возвращаемся к переменной х:
1)
$x- \dfrac{7}{x} =\dfrac{11}{2} \\\\ x- \dfrac{7}{x}-\dfrac{11}{2}=0 \\\\ 2x^2-14-11x=0 \\\ 2x^2-11x-14=0 \\\ D=(-11)^2-4\cdot2\cdot(-14)=121+112=233 \\\ x_{1.2}= \dfrac{11\pm \sqrt{233} }{4}$
2)
$x- \dfrac{7}{x} =-\dfrac{3}{2} \\\\ x- \dfrac{7}{x}+\dfrac{3}{2}=0 \\\\ 2x^2-14+3x=0 \\\ 2x^2+3x-14=0 \\\ D=3^2-4\cdot2\cdot(-14)=9+112=121 \\\ x_3= \dfrac{-3-11}{2\cdot2} =-3.5 \\\\ x_4= \dfrac{-3+11}{2\cdot2} =2$
Ответ: $\dfrac{11\pm \sqrt{233} }{4}$ ; -3.5; 2

$x^2+ \dfrac{121}{x^2} -10x- \dfrac{110}{x} =2$
ОДЗ: $x \neq 0$
$x^2+ \dfrac{121}{x^2} -10\left(x+ \dfrac{11}{x} \right)=2$
Замена: $x+ \dfrac{11}{x}=z$ . Тогда:
$\left(x+ \dfrac{11}{x} \right)^2=z^2 \\\\ x^2+2\cdot x\cdot \dfrac{11}{x}+\dfrac{121}{x^2}=z^2 \\\\ x^2+22+\dfrac{121}{x^2}=z^2 \\\\ x^2+\dfrac{121}{x^2}=z^2-22$
Получаем уравнение:
$z^2-22 -10z=2 \\\ z^2-10z-24=0 \\\ D_1=(-5)^-1\cdot(-24)=25+24=49 \\\ z_1= 5+7=12 \\\ z_2= 5-7=-2$
Возвращаемся к переменной х:
1)
$x+ \dfrac{11}{x}=12 \\\\ x+ \dfrac{11}{x}-12=0 \\\ x^2+11-12x=0 \\\ x^2-12x+11=0 \\\ (x-1)(x-11)=0 \\\ x_1=1 \\\ x_2=11$
2)
$x+ \dfrac{11}{x}=-2 \\\\ x+ \dfrac{11}{x}+2=0 \\\ x^2+11+2x=0 \\\ x^2+2x+11=0 \\\ D_1=1-1\cdot11\ \textless \ 0$
Последнее уравнение не имеет корней.
Ответ:1; 12.