858.1) Доказать, что четырёхугольник АВСД - квадрат, если:
А(1; 2), В(4; 5), С(7; 2), Д(4; -1).
Четырёхугольник АВСД - квадрат в том случае, если его стороны равны и диагонали равны.
Находим длины сторон:
АВ =
√((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²)
= √18 ≈ 4,242640687,
BC =
√((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²)
= √18 ≈ 4.242640687,
СД =
√((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²)
= √18 ≈ 4.242640687,
АД = √((Хд-Ха)²+(Уд-Уа)²) = √18 ≈ 4.242640687.
Находим длины диагоналей:
AC =
√((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √36 = 6,
ВД =
√((Хд-Хв)²+(Уд-Ув)²) = √36 = 6.
Доказано, условия подтверждены.
861.2) Найти угол А треугольника АВС если:
А(1; 2), В(-1; 3), С(3; 2).
Находим длины сторон
АВ =
√((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²)
= √5 ≈ 2.236067977,
BC =
√((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²)
= √17 ≈ 4.123105626,
AC =
√((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²)
= √4 = 2.
Определяем косинус угла А:
cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/(2*АВ*АС) =
-0.894427.
Этому косинусу соответствует угол
2,677945
радиан или
153,4349 градусов.