Пусть написаны числа А, B, C, D, E - в порядке возрастания.
Очевидно, что среди чисел нет нулей, иначе бы среди попарных сумм было более одной пары одинаковых. По той же причине среди A,B,C,D,E нет одинаковых.
Следовательно среди чисел есть отрицательное, причем ровно одно, иначе была бы отрицательная сумма.
Итак, А отрицательно, причем, именно В=-А (иначе, получится, что В не наименьшее из положительных) . Но тогда, А+С=2.
И ясно, что одна из четверок получается из суммы А+D, а вторая из B+C.
Таким образом, получаем систему уравнений:
B=-A
A+C=2
A+D=4
B+C=4
D+E=15
Решив ее, получим: A = -1, B = 1, C = 3, D = 5, E = 10
Остальные суммы позволяют проверить, что найденное решение удовлетворяет условию.