Ясно, что наибольшую энергию налетающий шар передаст в том случае, когда он остановится. исходя из этого предположения из ЗСИ и ЗСЭ нетрудно получить, что m1/m2 = 1. но проверим это более строгим путем
введем параметр m1/m2 = x и найдем, при каком значении x доля энергии, которую отдает налетающий шар, максимальна
запишем систему из закона сохранения импульса и энергии:
m2 v0 = m2 v + m1 u
m2 v0² = m2 v² + m1 u²
распишем разность квадратов во втором уравнении:
m2 v0 = m2 v + m1 u
m2 (v0 - v) (v0 + v) = m1 u²
разделим второе уравнение на первое:
u = v0 + v
подставим полученное уравнение в изначальное уравнение ЗСИ:
m2 v0 = m2 v + m1 v0 + m1 v
v0 (m2 - m1) = v (m1 + m2)
v = v0 (m2 - m1)/(m1 + m2)
теперь найдем долю энергии, которую передает налетающий шар:
w = (E2 - E1)/E1 = (E2/E1) - 1 = ((m2 - m1)/(m1 + m2))² - 1
вспомним про наш параметр x = m1/m2 и рассмотрим функцию w(x):
w(x) = ((1 - x)/(1 + x))² - 1
возьмем от нее производную:
w'(x) = 2 * ((1 - x)/(1 + x))' * ((1 - x)/(1 + x))
w'(x) = 2 * ((1 - x)/(1 + x)) * ((-1 - x - 1 + x)/(1+x)²)
w'(x) = 4 (x - 1)/(x + 1)³
налетающий шар отдаст наибольшую энергию при условии, что w'(x) = 0. это выполняется при x = 1
ч.т.д.