Помогите пожалуйста решить sin8pix+1=cos4pix+√2 cos(4pix-pi/4) И найдите все корни...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\sin8\pi x+1=\cos4\pi x+ \sqrt{2} \cos\left(4\pi x- \frac{ \pi }{4} \right) \\\ \sin8\pi x+1=\cos4\pi x+ \sqrt{2} \left(\cos4\pi x\cos \frac{ \pi }{4}+\sin4\pi x\sin \frac{ \pi }{4} \right) \\\ \sin8\pi x+1=\cos4\pi x+ \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos4\pi x+\frac{ \sqrt{2} }{2}\sin4\pi x \right) \\\ \sin8\pi x+1=\cos4\pi x+ \cos4\pi x+\sin4\pi x \\\ 2\sin4\pi\cos4 \pi x x-2 \cos4\pi x-\sin4\pi x+1=0 \\\ 2 \cos4\pi x(\sin4\pi x-1)-(\sin4\pi x-1)=0 \\\ (\sin4\pi x-1)(2 \cos4\pi x-1)=0$
$\left[\begin{array}{l} \sin4\pi x-1=0 \\ 2 \cos4\pi x-1=0 \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} \sin4\pi x=1 \\ \cos4\pi x= \frac{1}{2} \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} 4\pi x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n \\ 4\pi x=\pm \frac{ \pi }{3}+2 \pi n \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} 4 x= \frac{ 1 }{2}+2 n \\ 4 x=\pm \frac{ 1 }{3}+2 n \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} x= \frac{ 1 }{8}+ \frac{ n}{2} , \ n\in Z \\ x=\pm \frac{ 1 }{12}+ \frac{n}{2} , \ n\in Z \end{array}$

Оценим границы заданного отрезка:
$6.9696\ \textless \ 7\ \textless \ 7.0225 \\\ \sqrt{6.9696} \ \textless \ \sqrt{7} \ \textless \ \sqrt{7.0225} \\\ 2.64\ \textless \ \sqrt{7} \ \textless \ 2.65 \\\ 0.64\ \textless \ \sqrt{7}-2 \ \textless \ 0.65 \\\ -0.65\ \textless \ 2- \sqrt{7} \ \textless \ -0.64$
- Корни из промежутка $[-0.64;0.64]$ автоматически попадают в заданный отрезок
- Корни из промежутка $(-\infty;-0.65]\cup[0.65;+\infty)$ автоматически не попадают в заданный отрезок
- Корни из промежутка $(-0.65;-0.64)\cup(0.64;0.65)$ нужно исследовать дополнительно

Рассмотрим первую серию корней $x_1= \frac{ 1 }{8}+ \frac{ n}{2}$ :
При n=0: $x=\frac{ 1 }{8}$ - попадает в отрезок
При n=1: $x= \frac{ 1 }{8}+ \frac{ 1}{2}=\frac{ 5 }{8}=0.625$ - попадает в отрезок
При n=2: $x= \frac{ 1 }{8}+1= \frac{9}{8}$ - не попадает в отрезок
При n=-1: $x= \frac{ 1 }{8}- \frac{ 1}{2}=-\frac{ 3 }{8}$ - попадает в отрезок
При n=-2: $x= \frac{ 1 }{8}-1=-\frac{7 }{8}$ - не попадает в отрезок

Рассмотрим вторую серию корней $x_2=\frac{ 1 }{12}+ \frac{n}{2}$ :
При n=0: $x=\frac{ 1 }{12}$ - попадает в отрезок
При n=1: $x=\frac{ 1 }{12}+ \frac{1}{2}= \frac{7}{12}$ - попадает в отрезок
При n=2: $x=\frac{ 1 }{12}+ 1= \frac{13}{12}$ - не попадает в отрезок
При n=-1: $x=\frac{ 1 }{12}- \frac{1}{2}=- \frac{5}{12}$ - попадает в отрезок
При n=-2: $x=\frac{ 1 }{12}-1=- \frac{11}{12}$ - не попадает в отрезок

Рассмотрим третью.серию корней $x_3=-\frac{ 1 }{12}+ \frac{n}{2}$ :
При n=0: $x=-\frac{ 1 }{12}$ - попадает в отрезок
При n=1: $x=-\frac{ 1 }{12}+ \frac{1}{2}= \frac{5}{12}$ - попадает в отрезок
При n=2: $x=-\frac{ 1 }{12}+ 1= \frac{11}{12}$ - не попадает в отрезок
При n=-1: $x=-\frac{ 1 }{12}- \frac{1}{2}=- \frac{7}{12}$ - попадает в отрезок
При n=-2: $x=-\frac{ 1 }{12}-1=- \frac{13}{12}$ - не попадает в отрезок

Ответ: общее решение: $\frac{ 1 }{8}+ \frac{ n}{2}$ ; <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cpm%5Cfrac%7B+1+%7D%7B12%7D%2B+%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D" id="TexFormula30" title="\pm\frac{ 1 }{12}+ \frac{n}{2}" alt="\

Artem112_zn (270k баллов) 12 Май, 18