Определение Арккосинусом числа называется такое число , косинус которого равен а:
если и
Все корни уравнений вида cos(х) = а, где , можно находить по формуле
Можно доказать, что для любого справедлива формула
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.
Уравнение sin х = а
Из определения синуса следует, что . Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где , на отрезке имеет только один корень. Если , то корень заключён в промежутке ; если а < 0, то корень заключён в промежутке
Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а
Определение Арксинусом числа называется такое число , синус которого равен а:
, если и
Все корни уравнений вида sin(х) = а, где , можно находить по формуле
Можно доказать, что для любого справедлива формула
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.
Уравнение tg х = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале только один корень. Если , то корень заключён в промежутке ; если а < 0, то в промежутке .
Этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a
Определение Арктангенсом любого числа a называется такое число , тангенс которого равен а:
, если и
Все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле
Можно доказать, что для любого a справедлива формула
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = а, tg x = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos2 х - 5 sin х + 1 = 0
Заменяя cos2 х на 1 - sin2х, получаем
2 (1 - sin2х) - 5 sin х + 1 = 0, или
2 sin2х + 5 sin x - 3 = 0.
Обозначая sin х = у, получаем 2у2 + 5y - 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin х = - 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin х = 0,5;
Ответ
Решить уравнение 2 cos2 6х +8 sin 3х cos 3x - 4 = 0
Используя формулы
sin2 6x + cos2 6x = 1, sin 6х = 2 sin 3x cos 3x
преобразуем уравнение:
3 (1 - sin2 6х) + 4 sin 6х - 4 = 0 => 3 sin2 6х - 4 sin 6x + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y2 - 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
1)
2)
Ответ
Уравнение вида a sin x + b cos x = c
Решить уравнение 2 sin x + cos x - 2 = 0
Используя формулы и записывая правую часть уравпения в виде получаем
Поделив это уравнение на получим равносильное уравнение
Обозначая получаем уравнение 3y2- 4y + 1 = 0, откуда y1=1, y1= 1/3
1)
2)
Ответ
В общем случае уравнения вида a sin x + b cos x = c, при условиях можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на :
Введём вспомогательный аргумент , такой, что
Такое число существует, так как
Таким образом, уравнение можно записать в виде
откуда
где или
Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin x + b cos x = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется методом введения вспомогательного угла.
Решить уравнение 4 sin x + 3 cos x = 5
Здесь a = 4, b = 3, . Поделим обе части уравнения на 5:
Введём вспомогательный аргумент , такой, что Исходное уравнение можно записать в виде
откуда
Ответ
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin 2 х - sin х = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin х cos x - sin x = 0. Вынося общий множитель sin x за скобки, получаем sin x (2 cos x - 1) = 0
1)
2)
Ответ
Решить уравнение cos 3х cos х = cos 2x
cos 2х = cos (3х - х) = cos 3х cos x + sin 3х sin x, поэтому уравнение примет вид sin x sin 3х = 0
1)
2)
Заметим, что числа содержатся среди чисел вида
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.
Ответ
Решить уравнение 6 sin2 х + 2 sin2 2x = 5
Выразим sin2x через cos 2x.
Так как cos 2x = cos2x - sin2x, то
cos 2x = (1 - sin2 х) - sin2 х, cos 2x = 1 - 2 sin2 х, откуда
sin2 х = 1/2 (1 - cos 2x)
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 - cos 2x) + 2 (1 - cos2 2х) = 5
2 cos2 2х + 3 cos 2х = 0
cos 2х (2 cos 2x + 3) = 0
1) cos 2х =0,
2) уравнение cos 2x = -3/2 корней не имеет.
Ответ