18.47) Пускай х0 - наименьший положительный корень уравнения cos^2X-5sinXcosX+2=0. Найти...

Question

18.47) Пускай х0 - наименьший положительный корень
уравнения cos^2X-5sinXcosX+2=0. Найти tg0.

---

Answer 1

8.47) Пускай х0 - наименьший положительный корень 
уравнения cos^2X-5sinXcosX+2=0. Найти tg0 
---
cos²x -5sinxcosx +2(sin²x +cos²x) =0 ;
2sin²x -5sinxcosx +3cos²x = 0  ||  \cos²x ≠0 
2tq²x - 5tqx +3 =0 ; (кв уравнение относительно  tqx) или замена t =tqx 
2t² - 5t+3 =0    D =5² -4*2*3 =1
t₁  =(5-1)/2*2 =1 ⇒tqx =1 ⇔x₂ =π/4 +πn  , n∈Z ;
t₂  =(5+1)/4 =1,5⇒tqx =1,5 ⇔x₂ =arctq(1,5) +πn ,n∈Z.
наименьший положительный корень  x = π/4  и   tqπ/4 =1.

Answer 2

Решис сначала уравнение.
cos²x - 5sinxcosx + 2 = 0
2sin²x - 5sinxcosx + 2cos²x + cos²x = 0
2sin²x - 5sinxcosx + 3cos²x = 0
Разделим на cos²x.
2tg²x - 5tgx + 3 = 0
Пусть t = tgx.
2t² - 5t + 3 = 0
D = 25 - 4•3•2 = 1
t1 = (5 + 1)/4 = 3/2
t2 = (5 - 1)/4 = 1
Обратная замена:
tgx = 1
x = π/4 + πn, n ∈ Z
tgx = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z
arctg(3/2) > π/4.
Значит, tgx0 = tg(π/4) = 1.
Ответ: 1.