В варианте олимпиады 8 задач, каждая оценивается в 8 баллов (за задачу можно получить...

Question

В варианте олимпиады 8 задач, каждая оценивается в 8 баллов (за задачу можно получить целое число от 0 до 8 баллов включительно). По результатам проверки все участники набрали разное число баллов. Члены оргкомитета втихаря исправили оценки 0 на 6, 1 на 7, 2 на 8. В результате этого участники упорядочились в точности в обратном порядке. Какое наибольшее количество участников могло быть?

Answer 1

Ответ 9.

Назовём оценки 0, 1 и 2 низкими, а остальные - высокими.
Заметим, что если у двух участников одинаковое число низких оценок, то после манипуляций оргкомитета их порядок не меняется, так как к каждой низкой оценке прибавляется 6, и меньшая сумма остаётся меньшей.
Так как есть только 9 возможных вариантов для количества низких оценок (0, 1, ..., 8), то участников не более 9.

Пример, как может быть 9 участников:
1. 0 0 0 0 0 0 0 0 (сумма 0, после исправления 48)
2. 0 0 0 0 0 0 0 3 (3, 45)
3. 0 0 0 0 0 0 3 3 (6, 42)
4. 0 0 0 0 0 3 3 3 (9, 39)
5. 0 0 0 0 3 3 3 3 (12, 36)
6. 0 0 0 3 3 3 3 3 (15, 33)
7. 0 0 3 3 3 3 3 3 (18, 30)
8. 0 3 3 3 3 3 3 3 (21, 27)
9. 3 3 3 3 3 3 3 3 (24, 24)