(Комментарий забанен автором)
Ответ 1/3
(НЕОБХОДИМЫЕ пояснения: Вершина пирамиды проектируется в центр вписаной окружности, r = H/3)
Ладно, может и правда, нужно...
Опускаем перпендикуляр из вершины на основание. То, что это будет центр правильного треугольника, и доказывать не надо - все так симметрично, что иначе и быть не может. Но, для фана, скажу, что раз ребра равны, то и проекции их на основание будут равны, а в правильном треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписаной :)))))) Далее, проводим сечение пирамиды через ребро и высоту пирамиды. То, что это сечение пройдет через высоту противоположной грани (апофему), тоже доказать несложно, поскольку эта плоскость уже содержит 2 прямых, перпендикулярных ребру... Ну, и косинус двуграного угла равен расстоянию от центра треугольника до стороны, деленному на апофему. Ладно...