В треугольнике ABC точка I центр вписанной окружности, точка D середина AB. Найдите...

Question

В треугольнике ABC точка I центр вписанной окружности, точка D середина AB. Найдите (AB+BC)/AC если известно, что угол AID прямой.

Answer 1

Треугольник ABC; I - центр вписанной окружности, D - середина AB, E - середина AC; AD=DB=x; BC=2x; AE=EC=y, ∠BAI=∠IAC=Ф.

Из ΔAIE⇒cos Ф=y/AI; из ΔADI⇒cos Ф=AI/x⇒cos^2 Ф=y/x.

Из ΔABE⇒cos 2Ф=y/(2x); 2cos^2 Ф-1=y/(2x).

Избавляясь от косинуса, получаем

(2y/x)-1=y/(2x); (3/2)(y/x)=1; x/y=3/2 

⇒ (AB+BC)/AC=(4x)/(2y)=2x/y=3

Ответ:  3