Решите сложные интегралы (Фото ниже)

Question

Решите сложные интегралы (Фото ниже)

---

Answer 1

1.
∫(3x+4)/(x²+3x+4)dx=∫(((3(2x+3))/(2(x²+3x+4)))-(17)/(2(x²+3x+4))))dx=3/2∫(2x+3)/(x²+3x+4)dx-17/2∫1/(x²+3x+4)dx=
3/2∫1/udu-17/2∫1/((x+3/2)²+7/4)dx=(3lnu)/2-17/2∫1/(s²+7/4)ds=(3lnu)/2-17/2∫4/(7((4s²/7)+1))ds=(3lnu)/2-34/7∫1/((4s²/7)+1)ds=(3lnu)/2-17/√7∫1/(p²+1)dp=(3lnu)/2-(17arctgp)/√7+C=(3lnu)/2-(17arctg(2s/√7))/√7+C=(3ln(x²+3x+4))/2-(17arctg((2x+3))/√7))/√7+C
u=x²+3x+4
du=(2x+3)dx
s=x+3/2
ds=dx
p=2s/√7
dp=2/√7ds

2.
∫(4x-3)/(x³+4x²-x-4)dx=∫((7/(6(x+1)))-(19/(15(x+4)))+(1/(10(x-1))))dx=7/6∫1/(x+1)dx-19/15∫1/(x+4)dx+1/10∫1/(x-1)dx=7/6∫1/udu-19/15∫1/sds+1/10∫1/pdp=7lnu/6-19lns/15+lnp/10+C=7/6*ln(x+1)-19*15*ln(x+4)+ln(x-1)/10+C
u=x+1
du=dx
s=x+4
ds=dx
p=x-1
dp=dx

Comments

Замечания к предыдущему решению.

---

В решении допущены опечатки :

---

1-й пример) в 1й строке в записи самого примера надо ∫(3x-4)... вместо ∫(4x-3)... Далее подынтегральная дробь разложена правильно на 2 слагаемые дроби. Правильно найден итеграл от первой дроби: I1 = (3/2)*ln (x²+3x+4). В 6-й строке – лишняя “)”. Должно быть: /2-(17arctg((2x+3)/√7))/√7+C.

---

Пример №1) Можно было воспользоваться готовой формулой:
∫((Nx+M)/(x²+px+q))*dx = (N/2)*ln (x²+px+q) + (M-Np/2)/√(q-p²/4)*arctg((x+p/2)/√(q-p²/4)) + const,
Тогда ∫(4x+3)/(x²+3x+4)dx = (N=3, M=-4, p=3, q=4)
= (3/2)*ln (x²+3x+4)+(-4-(3*3)/2)/√(4-3²/4)*arctg((x+3/2)/√(4-3²/4))+C =

---

=(3/2)*ln(x²+3x+4)-(17/2)/√(7/4)*arctg((x+3/2)/√(7/4))+C =
(3/2)*ln (x²+3x+4)-(17/2)/√(7/4)*arctg((x+3/2)/√(7/4))+C=(3/2)*ln (x²+3x+4)–(17/2)*√(4/7)*arctg((x+3/2)*√(4/7))+C =
(3/2)*ln (x²+3x+4) – (17/√7)*arctg((2x+3)/√7) + C, т.е. тот же ответ в немного изменённой записи. Он проверен дифференцировантем.

---

Пример №2) x3+4x²-x-4=0, можно проверить подстановкой, что х=1 - один из корней. Тогда поделим столбиком (x3+4x²-x-4)/(x-1) = x²+5x+4, x²+5x+4=0 имеет корни x= -1 и x= -4, и весь многочлен разложится на множители x3+4x²-x-4= (x-1)*(x+1)*(x+4). Представим дробь в виде суммы элементарных дробей: (4x-3)/(x3+4x²-x-4) = A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x+4)= приведём к общему знаменателю и сложим, приведём подобные в числителе = (Ax²+5Ax+4A+ Bx²+3Bx-4B+Cx²-C)/( (x-1)*(x+1)*(x+4)) =

---

(Ax²+5Ax+4A+ Bx²+3Bx-4B+Cx²-C)/( (x-1)*(x+1)*(x+4)) = [(A+B+C) x² + (5A+3B)x + (4A-4B)]/((x-1)*(x+1)*(x+4)) = (4x-3)/((x-1)*(x+1)* (x+4)). Приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим систему трёх уравнений:
A+B+C= 0
5A+3B=4
4A-4B-C=-3, решив эту систему, найдём: A=1/10, B=7/6, C= -19/15. Тогда ∫ запишем в виде:
∫((4x-3)/( x3+4x²-x-4))dx=∫((1/(10(x-1)))+(7/(6(x+1)))-(19/(15(x+1))))dx = (ln|x-1|)/10 + (7ln|x+1|)/6 – (19 ln|x+4|)/15 + C

---

упс, что-то много у меня косяков...