Найти условный экстремум функции z=x^2+y^2-xy+x+y-4 при x+y+3=0

0 голосов
422 просмотров

Найти условный экстремум функции z=x^2+y^2-xy+x+y-4 при x+y+3=0

Математика (31 баллов) | 422 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
Строим функцию Лагранжа
  L=x^2+y^2-xy+x+y-4+\lambda(x+y+3)

Частные производные:
\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x} =2x-y+1+\lambda\\ \\ \\ \frac{\partial L}{\partial y} =2y-x+1+\lambda

Решая систему уравнений \begin{cases} & \text{ } 2x-y+1+\lambda=0 \\ & \text{ } 2y-x+1+\lambda=0 \\ & \text{ } x+y+3=0 \end{cases} получим \begin{cases} & \text{ } x=-1.5 \\ & \text{ } y=-1.5 \\ & \text{ } \lambda=0.5 \end{cases}

То есть, имеем частные производные в виде

\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x} =2x-y+1.5\\ \\ \\ \frac{\partial L}{\partial y} =2y-x+1.5

Теперь вычислим частные производные второго порядка

\displaystyle \frac{\partial^2L}{\partial x^2} =2;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\partial ^2L}{\partial y^2} =2\\ \\ \\ \frac{\partial^2L}{\partial x\partial y} =-1

Строим матрицу

\left(\begin{array}{ccc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\\ \\ a_{11}=2\ \textgreater \ 0\\ a_{22}= \left|\begin{array}{ccc}2 &-1\\ -1&2\end{array}\right|=2\cdot 2-1=3\ \textgreater \ 0
Поскольку, матрица положительно определена, то по критерию Сильвестра точка (-1.5;-1.5) - точка минимума
Похожие задачи