Леонид Быков родился 12 декабря 1928 года в селе Знаменка[2] Славянского района (Донецкая область), УССР, СССР в семье Фёдора Ивановича и Зинаиды Панкратовны Быковых. В 1938 году родители переехали в город Краматорск, где Быков окончил среднюю школу № 6, там же впервые вышел на сцену местного ДК им. Ленина. Во время Великой Отечественной войны Леонид вместе с семьёй находился в эвакуации в Барнауле. С детства он мечтал об авиации и дважды поступал в лётные училища: первый раз — в Ойрот-Туре (1943), куда была в 1942 году эвакуирована 2-я Ленинградская школа военных лётчиков, но туда его не взяли из-за приписанного себе возраста и маленького роста; второй раз — в Ленинграде (1945), во 2-ю спецшколу для лётчиков, которая была чуть позже расформирована по причине окончания войны.
В театральный институт в Киеве принят не был, но поступил и окончил актёрский факультет Харьковского театрального института (1951). В 1951—1960 годах был актёром Харьковского государственного академического украинского театра имени Т. Г. Шевченко. В театре начинается его актёрская карьера, Быков играет в комедии «Улица трёх соловьёв, 17» стилягу — советского модника[3].
В кино свою первую роль Леонид Быков сыграл в 1952 году в фильме «Судьба Марины». Следующую роль он получил в фильме «Укротительница тигров», где сыграл Петю Мокина. В 1955 году — главная роль в фильме «Максим Перепелица».
В 1960 г. переезжает в Ленинград. В 1960—1968 годах — актёр и режиссёр киностудии «Ленфильм»
В числе лучших ролей Леонида Быкова в кино можно назвать Богатырёва («Дорогой мой человек», 1958), Акишина («Добровольцы», 1958), Алёшки («Алёшкина любовь», 1960), Гаркуши («На семи ветрах», 1962).
В 1969 году, поддавшись на уговоры (как ценного «национального кадра») руководства киностудии им. Довженко, перебирается в Киев, где, однако, не получает обещанного поля для деятельности и впадает в депрессию. Автор сценария сатирического киножурнала «Фитиль».
В конце 1960-х годов вместе с Евгением Оноприенко и Александром Сацким был создан сценарий фильма о лётчиках, который долго не пропускала цензура из-за его «негероичности». После долгого ожидания, в 1972 году Быков начал снимать кинокартину «В бой идут одни „старики“», в которой сыграл главную роль.
В 1976 году был снят ещё один фильм — «Аты-баты, шли солдаты».
В 1978 году начались съёмки фантастического сатирического фильма «Пришелец» по повести Евгения Шатько «Пришелец-73», в котором Леонид Быков принимал участие в качестве автора сценария, режиссёра и исполнителя главной роли инопланетянина Глоуза. К 1979 году были уже отсняты две части фильма на видеоплёнку, представлены суду критиков. Картину ожидал успех, но судьба разрушила планы. По одной из версий[4], во время съёмок картины Леонид пишет странное письмо-завещание на имя своих друзей Николая Мащенко и Ивана Миколайчука, как бы предчувствуя скорую трагедию. По другой[5], завещание было написано за три года до смерти, после перенесённого им инфаркта. Письмо, по воспоминаниям его дочери Марьяны, было написано на маленьком листочке бумаге, в стиле отца, с названием «А если это конец…»: не знаю это надо или нет ну вот короче