Помогите, пожалуйста решить задачи.
1.
Федя написал на доску в первый столбик 16 различных
простых чисел, а во второй – 3 различные цифры. Игорь должен сказать Феде одно
из чисел из первого столбика, а Федя – составить из своих цифр одно трёхзначное
число. Игорь ходит первым. Федя выигрывает, если его число делится на число
Игоря, и проигрывает в противном случае. Докажите, что Игорь всегда сможет
помешать Феде выиграть.
2.
В начале игры в каждой клетке полоски из 2014 клеток стоит
фишка одного из 1007 цветов, каждый цвет встречается ровно у двух фишек. Ход
заключается в том, что все фишки сдвигаются на клетку вправо, а если фишка уже
стоит в самой правой клетке, то её сдвигают на две клетки обратно. Между ходами
можно снять с доски пару одноцветных фишек, если они попали в одну клетку.
Докажите, что игра будет длиться бесконечно.
3.
В племени угабугцев два человека знакомы, если их имена
содержат общую букву, а иначе – нет. У каждого угабугца спросили, сколько у
него знакомых в племени. Динара сказала, что 20, Сири – 15, Рада – 12, Инна –
12. Что ответила Раиса? Ответ обоснуйте.
4.
На королевском балу присутствует 100 человек. Известно,
что среди любых 50 из них есть хотя бы одна пара родных близнецов. Докажите,
что на балу обязательно найдётся три человека, являющихся родными близнецами.