В равностороннем △ABC проведена высота АН. ** стороне АВ отмечена точка М. Через эту...

Question

В равностороннем △ABC проведена высота АН. На стороне АВ отмечена точка М. Через эту точку проведен перпендикуляр к стороне АС, который пересекает ее в точке N. АН и MN пересекаются в точке О. Найдите углы четырехугольника MBHO
Пожалуйста, помогите)

Answer 1

Рисунок будет таким же, как у меня ниже, и там небольшая погрешность: в центре О, а не С :3
Р/м треугольник АОN, в котором ∠N = 90*, ∠=30 (т.к. треугольник равносторонний, то все ∠ равны, то есть ∠А=∠В=∠С=180/3=60, а высота в равностороннем треугольнике - это и медиана, и бессектриса - делит угол пополам). Из свойств углов треугольника следует, что ∠О=180-90-30=60
∠О и ∠МОН - вертикальные, поэтому равны, т.е. ∠МОН=60*
Теперь в четырехугольнике нам известны все углы, кроме ∠М. Для того, чтобы его найти, р/м треугольник МОА, где ∠А=30*, ∠О=120 (т.к он смежный с ∠АОN). По с-ву углов, ∠АМС=180-120-30=30*
Т.к. ∠АМС и ∠М смежные, то ∠М=180-30=120, и мы получаем все углы
∠В=∠О=60
∠М=120
∠Н=90

Comments

150* опечаточка вышла)

---

Спасибо) Решение было понятным)

Answer 2

AH - высота ⇒ ∠OHB=90°
ΔABC равносторонний ⇒ ∠MBH=60°
AH - биссектриса по свойству равностороннего треугольника ⇒ ∠NAO=60/2=30°. В прямоугольном ΔNOA (MN⊥AC по условию) ∠NOA=90-30=60°. ∠NOA=∠HOM как вертикальные при пересечении прямых AH и NM ⇒ ∠HOM=60°
∠OMB=360-(60+60+90)=360-210=150°

Ответ: 150°; 60°; 90°; 60°.

---