(b^2-1)(b^3-1)(b^4-1)>=0 методом интервалов

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$(b-1)(b+1)(b-1)(b^2+b+1)(b-1)(b+1)(b^2+1) \geq 0;$

$b^2+b+1\ \textgreater \ 0$ при всех b (можно, скажем, для доказательства этого проверить, что дискриминант отрицателен);

$b^2+1\ \textgreater \ 0$ при всех b - очевидно. Поэтому неравенство равносильно

$(b-1)^3(b+1)^2 \geq 0.$

Можно было бы решать методом интервалов, но давайте для разнообразия обойдемся без него.

$(b+1)^2$ всегда больше либо равно нуля, поэтому может повлиять на знак произведения только там, где обращается в ноль, а обращается оно в ноль при b= - 1; это значение b входит в ответ. При прочих b эта скобка не влияет на знак произведения и поэтому может быть отброшена. Остается скобка $(b-1)^3,$ которая имеет тот же знак, что и (b-1).

Ответ: $\{-1\}\cup[1;+\infty)$

Замечание. Такие задачи можно решать еще проще. Надо только заметить, что знак выражения $(b^{2n+1}-1})$ совпадает со знаком выражения (b-1), а знак выражения $(b^{2n}-1})$ - со знаком
$(b^2-1).$ После этого перестаешь бояться выражений вида
$(b^5-1); \ (b^6-1);\ (b^{2016}-1);\ (b^{2017}-1)$ и так далее

yugolovin_zn (64.0k баллов) 12 Май, 18