Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношении суммы сторон треугольника, образующих угол, в котором проведена биссектриса, к третьей стороне:
х/у=(а+в)/с
(см.рис)
Дано:
Δ АВС - равнобедренный
АВ=ВС
АС=6
ВН - биссектриса, высота, медиана
0 - центр вписанной окружности
ОН=R=2
-----------------------------------------------------
ВС-?
х/у=(а+в)/с
BO - x
y=2
а=в
с=6
Составляем пропорцию:
х/2=2а/6
6х=4а
х=2а/3
Δ СНВ - прямоугольный
ВН, НС - катеты
ВН=(2а/3+2)
ВС=а - гипотенуза
По теор. Пифагора:
ВН²+НС²=ВС²
(2а/3+2)²+3²=а²
4а²/9+8а/3+4+9=а²
а²-4а²/9-8а/3-13=0
5а²/9-8а/3-13=0 (общий знаменатель 9)
5а²-24а-117=0
D=b²-4ac
D=576+2340=2916=54²
а=(24+54)/10=7,8
Ответ: ВС=
7,8
