1. Область определения функции: x≠0.
2. Пересечение с осью: абсцисс (OX) - нет,
ординат (ОУ) - нет.
3. Поведение функции в граничных точках области определения:
при х → 0 функция → к ∞.
4. Поведение функции на бесконечности:
при х → ∞ функция → к 0
5. Асимптоты функции:
- вертикальная х = 0,
- горизонтальная у = 1.
6. Исследование функции на чётность/нечётность:
Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
\frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right) = \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)
- Да
\frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right) = - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)
- Нет
значит, функция является чётной.
7. Производная функции равна: y' = -2/x³.
8. Нули производной: нет, поэтому у функции нет экстремумов.
9. Функция возрастает на: x ∈ (-∞; 0).
10. Функция убывает на: x ∈ (0; ∞).
11. Вторая производная равна y'' = 6/x^4 и не равна 0.
Перегибов у функции нет.
12. График функции приведен в приложении.