N3. Найти ту первообразную F(x) функции f(x) =3x-1 [ f(x) =2x-4 ] для которой уравнение F(x) =5 [ F(x) =1 ] имеет два равных корня .
=======
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫(3x-1)dx = ∫ 3xdx - ∫dx = 3∫ xdx - x +C =(3/2)x² - x +C .
По условию уравнение F(x) = 5 имеет два равных корня .
F(x) = 5 ⇔ (3/2)x² - x +C= 5 ⇔(3/2)x² - x + C- 5 =0 это квадратное уравнение и имеет два равных корня , если дискриминант D =0 ,
т.е. 1² - 4*(3/2)*(C -5)= 0 ⇔1 - 6(C -5)= 0 ⇒ C =31/6 .
ответ : F(x) = (3/2)x² - x +31/6.
---------------
[ Уравнение F(x) =1 меет два равных корня
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫(2x-4)dx = ∫ 2xdx - ∫4dx = x² - 4x +C .
F(x) =1 ⇔ x² - 4x +C = 1 ⇔x² - 4x -( 1 -C) =0 . D /4 =2² +1 -C = 0 ⇒ C =5 .
ответ : F(x) = x² - 4x +5. ]