Докажите, что число 2009 • 2010 • 2011 • 2012 + 1 есть полный квадрат.

Question

Докажите, что число 2009 • 2010 • 2011 • 2012 + 1 есть полный квадрат.

Answer 1

Пусть 2010=x,тогда

(x-1)x(x+1)(x+2)+1=x(x²-1)(x+2)+1=(x³-x)(x+2)+1=x⁴+2x³-x²-2x+1=

=(x⁴+x³-x²)+x³-2x+1=x²(x²+x-1)+(x³+x²-x)-x²-x+1=x²(x²+x-1)+x(x²+x-1)-(x²+x-1)=

=(x²+x-1)(x²+x-1)=(x²+x-1)²

 

(2010²+2010-1)²

Доказано.