4) Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон
Отсюда AD/BD = AC/BC = 10/15 = 2/3
BE = 15 - 6 = 9
CE/BE = 6/9 = 2/3
Следовательно треугольники АВС и DBE подобны.
BD принадлежит АВ, BE принадлежит ВС. Угол В общий. Из пропорциональности сторон следует, что угол Е соответсвет углу С, а угол D углу А. Отсюда DE || AC.
BC/BE = AC/DE
DE = AC*BE / BC = 10*9 /15 = 6
5)Т.к. медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, если считать от вершины, то можно записать:ВО/ОН=2/1,
отсюда ОН=ВО/2=24/2=12 см
ВН=24+12=36 см
Рассмотрим треугольник АОН. Он прямоугольный, т.к. в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Зная катет АО в прямоугольном треугольнике АОН, найдем АН по теореме Пифагора:
АН = √AO² - OH² = √(9√2)² - 12² = √18=√9*2=3√2 см
Треугольники ВОЕ и ВНА подобные по первому признаку подобия: два угла одного соответственно равны двум углам другого. В нашем случае угол НВА - общий, а углы ВЕО и ВАН равны как соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых ЕК и АС секущей АВ.
Для подобных треугольников можно записать:
ВО/ВН=ЕО/АН, отсюда
ЕО=ВО*АН/ВН=24*3√2/36=2√2 см
Поскольку медиана ВН делит ЕК пополам, то
ЕК=2*ЕО=2*2√2=4√2 см