Найдите пределы функций

Question 1

Question 2

$\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{x-9}{ \sqrt[3]{x-1}-9 } =$
Домножим числитель и знаменатель на $( \sqrt[3]{(x-1)^2} +2 \sqrt[3]{x-1} +4)$

$\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{(x-9)( \sqrt[3]{(x-1)^2} +2 \sqrt[3]{x-1} +4)}{( \sqrt[3]{x-1} -2)( \sqrt[3]{(x-1)^2} +2 \sqrt[3]{x-1} +4)} =\\ \\ \\ \lim_{x \to 9} \frac{(x-9)( \sqrt[3]{(x-1)^2} +2 \sqrt[3]{x-1} +4)}{( \sqrt[3]{x-1})^3-2^3 } =\\ \\ \\ = \lim_{x \to 9} \frac{(x-9)( \sqrt[3]{(x-1)^2} +2 \sqrt[3]{x-1} +4)}{x-1-8} =\\ \\ \\ = \lim_{x \to 9} ( \sqrt[3]{(x-1)^2} +2 \sqrt[3]{x-1} +4)=2^2+2^2+2^2=12$

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{ \sqrt[3]{x^4+3} - \sqrt[3]{x^3+4} }{ \sqrt[3]{x^7+1} } = \lim_{x \to +\infty} \frac{ \sqrt[3]{ \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^7} } - \sqrt[3]{ \frac{1}{x^4} + \frac{4}{x^7} } }{ \sqrt[3]{1+ \frac{1}{x^7} } } =\\ \\ \\ = \frac{ \sqrt[3]{0+0} - \sqrt[3]{0+0} }{ \sqrt[3]{1+0} } =0$

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3+3x^2-9x-2}{x^5-32} \boxed{=}$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^3+3x^2-9x-2=x^3-2x^2+5x^2-10x+x-2=\\ \\ =x^2(x-2)+5x(x-2)+x-2=(x-2)(x^2-5x+1)$

$x^5-32=x^5-2^5=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)$

Вычислим предел теперь
$\boxed{=}\,\,\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2-5x+1)}{(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)}=\\ \\ \\ = \lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+1}{x^4+2x^3+4x^2+8x+16} = \frac{3}{16}$